Der induktive Blindwiderstand

Unter induktiven Blindwiderstand versteht man den Widerstand einer Spule im Wechselstromkreis.
Jede Leitung hat einen induktiven Blindwiderstand.
Die Ständerwicklungen von Asynchronmotoren haben einen induktiven Blindwiderstand.
In Siebschaltungen (Frequenzweichen, Splitter) wird die Frequenzabhängigkeit von induktiven Blindwiderständen genutzt.

Berechnung des induktiven Blindwiderstandes

Wenn man die Frequenz f erhöht, dann vergrößert sich der induktive Blindwiderstand. Der induktive Blindwiderstand ist also proportional zur Frequenz. Je größer die Frequenz, desto größer der induktive Blindwiderstand.
Gemessen wird der induktive Blindwiderstand mit einem Vielfachmessgerät und einer Wechselspannungsquelle: Spannung an der Spule messen. Stromstärke messen. Spannung durch Stromstärke teilen.

Messschaltung für den induktiven Blindwiderstand

Kennlinie X_L = g(f)

Messschaltung für die Blindleistung

Liniendiagramm der Blindleistung

Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung beträgt 90°. Der Strom eilt der Spannung um 90° nach. Das arithmetische Mittel der Fläche unter der Leistungskurve (= el. Arbeit) ist null. Deshalb findet kein Leistungsumsatz statt. Das Produkt aus Spulenspannung und Spulenstrom nennt man Blindleistung. Die Blindleistung einer Spule wird wie folgt berechnet:
Q_L= U_L⋅I    oder   Q_L= X_L⋅I_L²   oder   Q_L= U_L²/X_L

Aufgaben

1. Eine Spule mit einer Induktivität von L=31,8 mH ist an eine Stromquelle I=1 A angeschlossen. Die Stromquelle liefert eine sinusförmigen Stromverlauf mit einer Frequenz von f=50 Hz. Simulieren Sie den Spannungs- und Stromverlauf. Welche Phasenverschiebung besteht zwischen Spannung und Stromstärke. Wie groß ist der induktive Blindwiderstand? Verdoppeln Sie die Induktivität und ermitteln Sie den induktiven Blindwiderstand. Verdoppeln Sie die Frequenz und ermitteln Sie den induktiven Blindwiderstand. Interpretieren Sie die Ergebnisse. Simulieren Sie die induktive Blindleistung Q=U⋅I.
2. Was versteht man unter induktiver Blindleistung?
3. Eine Spule mit einer Induktivität von 12 mH (6 mH) wird an eine Spannungsquelle mit der Frequenz von 50 Hz (100 Hz) angeschlossen. Berechnen Sie den induktiven Blindwiderstand.
4. Eine Spule wird an eine Spannungsquelle (U= 24 V) mit der Frequenz von 50 Hz angeschlossen. Es fließt ein Strom von 2 A. Berechnen Sie die Induktivität.
5. Eine Spule mit einer Induktivität von 24 mH wird an eine Spannungsquelle mit 12 V angeschlossen. Es fließt ein Strom von 0,5 A. Berechnen Sie die Frequenz.
6. Welchen Wert muss eine Induktivtät haben, wenn der induktive Blindwiderstand 120 Ω im 50 Hz-Netz betragen soll?
7. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Frequenz und induktiven Blindwiderstand?
8. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Induktivität und induktiven Blindwiderstand?
9. Durch einen induktiven Blindwiderstand von 12 Ω fließt ein Strom von 2 A. Berechnen Sie die Blindleistung.
10. Ein induktiver Blindwiderstand von 115 Ω ist an eine Spannung von 230 V angeschlossen. Berechnen Sie die Blindleistung.

Reihenschaltung von Spule und Widerstand

In der Praxis kommt eine Reihenschaltung aus einer Spule und einem Widerstand in Leuchtstoffröhrenschaltungen vor. Die Leuchstoffröhre hat einen ohmschen Widerstand die Vorschaltdrossel (=Spule) ist dazu in Reihe geschaltet.

Messschaltung

Wenn ein Strom von 1 A durch den ohmschen Widerstand R₁ fließt, dann muss an diesem Widerstand eine Spannung von 4 V abfallen.

Liniendiagramm der Spannungen

Die Phasenverschiebung zwischen der Spannung am Widerstand und der Spannung an der Spule beträgt 90°.

Spannungsdreieck

Das Zeigerdiagramm für die Spannungen lässt sich aus dem Liniendiagramm entwickeln.

Zeigerdiagramm	Formeln
	Gesamtspannung	U2 = UR2 + UL2
	Spannungsfall am Widerstand	UR = U⋅cos φ
	Spannungsfall an der Spule	UL = U⋅sin φ
	Leistungsfaktor	cos φ = UR/U

Widerstandsdreieck

Das Zeigerdiagramm für die Widerstände lässt sich aus dem Spannungsdreieck entwickeln. Jede Spannung aus dem Spannungsdeieck wird durch die Stromstärke dividiert.

Zeigerdiagramm	Formeln
	Scheinwiderstand	Z2 = R2 + XL2
	Wirkwiderstand	R = Z⋅cos φ
	Blindwiderstand	XL = Z⋅sin φ
	Leistungsfaktor	cos φ = R/Z

Leistungsdreieck

Das Zeigerdiagramm für die Leistungen lässt sich aus dem Spannungsdreieck entwickeln. Jede Spannung aus dem Spannungsdeieck wird mit der Stromstärke multipliziert.

Zeigerdiagramm	Formeln
	Scheinleistung	S = U⋅I S2 = P2 + QL2
	Wirkleistung	P = S⋅cos φ
	Blindleistung	QL = S⋅sin φ
	Leistungsfaktor	cos φ = P/S

Der Leistungsfaktor hat einen Wert zwischen 0 und 1. Wenn der Leistungsfaktor klein ist, dann ist der Anteil der induktiven Blindleistung groß. Wenn der Leistungsfaktor groß ist, dann ist der Anteil der induktiven Blindleistung klein.

Simulation der Blindleistung

Der Phasenverschiebungswinkel zwischen Spannung (blau) und Stromstärke (rot) bestimmt den Anteil der Blindleistung (grün).
Wenn der Phasenverschiebungswinkel 90° beträgt, ist der arithmetische Mittelwert der Fläche unter der Leistungskurve (el. Arbeit) einer Periode null. Eine Spule nimmt also im Wechselstromkreis keine Wirkleistung auf. Weil nach jedem Nulldurchgang mit negativer Steigung die aufgenommene Energie wieder an die Spannungsquelle zurückgegeben wird, findet in der Spule kein Leistungsumsatz statt. Deshalb spricht man von Blindleistung.

Vollständige Berechnung der Reihenschaltung

Nachfolgend können der Gesamtwiderstand Z, die Spannungsfälle und Leistungen der Reihenschaltung berechnet werden.

Aufgaben

1. Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der Spannungen.
2. Entwickeln Sie aus dem Zeigerdiagramm der Spannungen das Zeigerdiagramm der Widerstände.
3. Entwickeln Sie aus dem Zeigerdiagramm der Spannungen das Zeigerdiagramm der Leistungen.
4. Was versteht man unter Scheinleistung? Wie wird die Scheinleistung gemessen und berechnet?
5. Gegeben sind der Spannungsfall am Widerstand und an der Spule. Stellen Sie eine Formel für die Berechnung der Gesamtspannung auf.
6. Gegeben sind der ohmsche Widerstand R und induktive Blindwiderstand X_L. Stellen Sie eine Formel für die Berechnung der Impedanz Z auf.
7. Gegeben sind die Wirkleistung P und die Blindleistung Q. Stellen Sie eine Formel für die Berechnung der Scheinleistung S auf.
8. Welche Beziehung besteht zwischen Scheinleistung und Wirkleistung?
9. Die Blindleistung einer Reihenschaltung aus R und L soll gemessen werden. Zeichnen Sie die Messschaltung und beschreiben Sie das Messverfahren.
10. Von einer Reihenschaltung sind folgende Werte gegeben R = 6 Ω und X_L = 8 Ω. Berechnen Sie die Impedanz.
11. Von einer Reihenschaltung sind folgende Werte gegeben P = 16 W und Q_L = 12 var. Berechnen Sie die Scheinleistung.
12. Die Impedanz beträgt 5 Ω. Der ohmsche Widerstand hat einen Wert von 3 Ω. Berechnen Sie den induktiven Blindwiderstand.
13. Von einer Reihenschaltung sind folgende Werte gegeben P = 12 W und S = 13 VA. Berechnen Sie die Blindleistung und den Leistungsfaktor.
14. Eine Reihenschaltung aus R= 10 Ω und X_L = 20 Ω ist an 230 V (50 Hz) angeschlossen. Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der Widerstände. Berechnen Sie die Impedanz, die Stromstärke, die Spannungsfälle, die Wirkleistung, die Blindleistung, die Scheinleistung und den Leistungsfaktor.
15. Eine Reihenschaltung aus R und L ist an 230 V (50 Hz) angeschlossen. Der Leistungsfaktor beträgt 0,95. Es fließt ein Strom von 3,2 A. Berechnen Sie R und L.

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